Description des recherches
• Etats cohérents généralisés : Au cours des dernières années, une théorie des états cohérents généralisés a été élaborée à partir de la notion d'une représentation de groupe de carré intégrable modulo un sous-groupe. Diverses extensions et applications sont à présent à l'étude, notamment leur lien avec la quantification.
• Analyse en ondelettes : Dans le cas des groupes affines, la théorie précédente fournit la transformée en ondelettes continue. On applique celle-ci à l'analyse de différents signaux unidimensionnels et bidimensionnels (traitement d'images). D’autre part, on étudie l’extension à des variétés qui présentent un intérêt particulier en optique et en astrophysique.
• Algèbres partielles : Une théorie générale des algèbres partielles a été élaborée au cours des dernières années. On étudie à présent divers cas particuliers, tels que *-algèbres partielles de Banach, opérateurs globaux, homomorphismes, éléments bornés, etc.
• Espaces à produit interne partiel (espaces PIP) : un espace PIP est une structure très générale, englobant chaînes ou treillis d’espaces de Hilbert ou de Banach, triplets de Gel’fand, espaces de distributions, etc. On définit des opérateurs globalement sur une telle structure et ceux-ci forment en général une *-algèbre partielle. Les espaces PIP trouvent de très nombreuses applications en physique quantique, en traitement du signal et de l’image et en analyse fonctionnelle (« frames » et leurs généralisations).
Références significatives :
- S.T. Ali, J-P. Antoine, and J-P. Gazeau, Coherent States, Wavelets and Their Generalizations, Graduate Texts in Contemporary Physics, Springer-Verlag, New York, Berlin, Heidelberg, 2000 ; 2nd ed. 2014
- J-P. Antoine, A. Inoue, and C. Trapani, Partial *-Algebras and Their Operator Realizations, Mathematics and Its Applications, vol. 553, Kluwer, Dordrecht, NL, 2002
- J-P. Antoine, R. Murenzi, P. Vandergheynst, and S.T. Ali, Two-Dimensional Wavelets and their Relatives, Cambridge University Press, Cambridge (UK), 2004
- J-P. Antoine and C. Trapani, Partial Inner Product Spaces - Theory and Applications, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1986, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 2009