Yann BRENIER
CNRS et Ecole Polytechnique France
"Convexité cachée en équations aux dérivées partielles non-linéaires"
PROGRAMME
Mardi 14 mai à 11h - Leçon inaugurale
Mardi 14 mai à 14h
"L'équation de Monge-Ampère et le problème de transport optimal de Monge et Kantorovich"
Mercredi 15 mai à 11h
"Transport optimal conservant la mesure et équations d'Euler des fluides incompressibles"
Mercredi 15 mai 14h
"De l'équation de Monge-Ampère à l'électromagnétisme non-linéaire de Born et Infeld"
Jeudi 16 mai 11h
"Diffusion conservant la topologie de champs de vecteur à divergence nulle et relaxation magnétique des équations d'Euler"
L'analyse convexe a été souvent utilisée dans les premiers temps de l'étude rigoureuse des EDP non-linéaires dans la seconde moitié du 20-ème siècle Assez rapidement, les limites de cette approche ont été atteintes, conduisant à des techniques d'analyse plus fines. Néanmoins, plusieurs EDP non-linéaires, jouant un rôle important en géométrie, mécanique et physique (telles celles de Monge-Ampère, Euler, Born-Infeld), ont des propriétés de convexité cachée conduisant à des résultats inattendus d'existence, unicité pour des données très générales.
Toutes les leçons seront données en l'auditoire Charles de la Vallée Poussin (CYCL 01) du bâtiment Marc de Hemptinne, Chemin du Cyclotron, 2 à Louvain-la-Neuve.
DETAILS
Cours 1
L'équation de Monge-Ampère et le problème de transport optimal de Monge et Kantorovich
Résumé: Une interprétation classique de l'équation de Monge-Ampère, au travers du « problème de Minkowski », est de permettre la reconstruction d'une hypersurface convexe connaissant sa courbure gaussienne en tout point. Une autre interprétation en termes de transport optimal de masse (concept remontant au travail fondateur de Monge en 1780) permet la résolution « robuste » (existence, unicité, continuité par rapport aux données, pour des données très générales) de l'équation de Monge-Ampère.
Cours 2
Transport optimal conservant la mesure et équations d'Euler des fluides incompressibles
Résumé: Le concept de transport optimal est généralisé aux mouvements conservant le volume.
On retrouve ainsi tout naturellement les équations d'Euler des fluides incompressibles et leur interprétation géométrique à la Arnold comme décrivant les géodésiques L2 du groupe des difféomorphismes conservant le volume. On montre comment le problème des géodésiques minimisantes peut être relaxé en un problème de minimisation convexe, pour les fluides au moins tridimensionnels. On en déduit un résultat surprenant d'existence et unicité pour le champ de pression déplaçant le fluide de façon optimale, sans pour autant que les trajectroires optimales soient uniques.
Cours 3
De l'équation de Monge-Ampère à l'électromagnétisme non-linéaire de Born et Infeld
Résumé: L'équation de Monge-Ampère peut être vue comme une version complètement non-linéaire de l'équation de Poisson (et, parallèlement, le transport optimal de densités constitue une version non-linéaire de l'électrostatique). On peut donc se demander s'il existe, dans le même style, une version non-linéaire des équations de Maxwell. On montre comment le modèle d'électromagnétisme de Born-Infeld joue ce rôle et on met en valeur ses propriétés cachées de convexité.
Cours 4
Diffusion conservant la topologie de champs de vecteur à divergence nulle et relaxation magnétique des équations d'Euler
Résumé: Les champs à divergence nulle ne peuvent conserver leur topologie lorsqu'ils sont diffusés par l'équation de la chaleur linéaire. En adaptant des idées connues en transport optimal, on introduit une classe d'équations de diffusion non-linéaires conservant la topologie. On retrouve notamment les équations de relaxation magnétique proposées par Moffatt pour la résolution des équations d'Euler des fluides incompressibles.