22.338.618 : un nombre impressionnant
Un nombre premier est un nombre entier positif qui admet exactement deux diviseurs, qui sont forcément un et le nombre lui-même : 2, 5, 7, 11, 13, 17 par exemple sont des nombres premiers.
Il s’agit d’un nombre premier dit de Mersenne, du nom du mathématicien à les avoir abordés il y a plus de 350 ans. Marin Mersenne (1588-1648) a en effet établi que les nombres répondant à la formule 2p-1, où l’exposant p lui-même est un nombre premier, peuvent être des nombres premiers. Le plus grand nombre premier validé, appelé M74207281, est le 49e nombre premier de Mersenne à avoir été découvert. Sa découverte a été le fruit d’une initiative de calcul collective opérée par la mise en connexion de nombreux ordinateurs reliés par internet, la Great Internet Mersenne Prime Search ou GIMPS
Ces nombres premiers ont depuis longtemps fasciné les mathématiciens. Euclide déjà a apporté une démonstration selon laquelle il n’est aucun nombre premier qui n’ait un nombre premier plus grand que lui. Autrement dit : il existe une infinité de nombres premiers.
Une grande figure des mathématiques belges,Charles-Jean de la Vallée Poussin, professeur à la Faculté des sciences de l’UCL, a consacré une partie de ses travaux à l’étude de ces nombres premiers. Il a démontré en effet en 1896 le théorème des nombres premiers qui revient à dire que le nombre de nombres premiers inférieurs à un nombre donné N est donné approximativement par la formule p(N)= N/log(N), et donc que les nombres premiers suivent une distribution asymptotique : bien qu’il y ait une infinité de nombres premiers, ils se raréfient lorsque l’on tend vers l’infini…
Au-delà de la dimension vertigineuse et du caractère esthétique de ces développements mathématiques, quel est l’intérêt de caractériser ces nombres premiers et en particulier d’en identifier toujours de plus grands ?
Difficile à dire, mais il est clair que la quête de ces nombres relève de la performance informatique. Des membres de la communauté active autour du projet GIMPS ont en effet permis la détection de défauts de processeurs informatiques (de marque bien connue) entraînant l’arrêt du système d’exploitation lorsqu’il était soumis à une charge de travail complexe importante comme la recherche de nombres premiers de Mersenne.
Merci aux professeurs Pascal Lambrechts et Enrico Vitale, Faculté des Sciences, Institut IRMP, pour la relecture de cette petite note).